Analisa Numerik METODE TITIK TETAP

 

Dengan METODE TITIK TETAP

 

Untuk g(Xn) = (10/(Xn+4))^1/2

n	Xn	g(Xn)	f(Xn)
1	1,5	1,348399725	2,375
2	1,348399725	1,367376372	-0,275636864
3	1,367376372	1,364957015	0,035480981
4	1,364957015	1,365264748	-0,004507522
5	1,365264748	1,365225594	0,000573598
6	1,365225594	1,365230576	-7,29767E-05
7	1,365230576	1,365229942	9,28482E-06
8	1,365229942	1,365230023	-1,1813E-06
9	1,365230023	1,365230012	1,50296E-07
10	1,365230012	1,365230014	-1,91221E-08
11	1,365230014	1,365230013	2,43289E-09
12	1,365230013	1,365230013	-3,09536E-10
13	1,365230013	1,365230013	3,93818E-11
14	1,365230013	1,365230013	-5,0111E-12
15	1,365230013	1,365230013	6,37712E-13
16	1,365230013	1,365230013	-8,34888E-14
17	1,365230013	1,365230013	0

Dengan menggunakan metode titik tetap untuk mencari solusi dari fungsi f(Xn)=X^3+4X^2-10=0 dimana fungsi g(Xn) yang digunakan yaitu g(Xn) = (10/(Xn+4))^1/2, solusi didapatkan pada iterasi ke-17 yaitu X=1,365230013.

 

 

 

Untuk g(Xn) = (-Xn^3+10)/4Xn

n	Xn	g(Xn)	f(Xn)
1	1,5	1,104166667	2,375
2	1,104166667	1,959354936	-3,777081525
3	1,959354936	0,316162189	12,87839129
4	0,316162189	7,882344287	-9,568562774
5	7,882344287	-15,21567334	728,266109
6	-15,21567334	-58,04348303	-2606,615848
7	-58,04348303	-842,3045518	-182084,9761

Dengan menggunakan metode titik tetap untuk mencari solusi dari fungsi f(Xn)=X^3+4X^2-10=0 dimana fungsi g(Xn) yang digunakan yaitu g(Xn) = (-Xn^3+10)/4Xn, tidak didapatkan solusi, hal ini dapat dilihat pada iterasi ke-7 nilai f(Xn)nya semakin menjauhi 0(nol). Hal ini juga dapat terbukti dengan melakukan uji kekonvergenan pada fungsi g(Xn) yaitu g'(Xn)=-4,1875 atau g'(Xn)<-1 (Divergen Osilasi).

Untuk g(Xn) = (-4Xn^2+10)/Xn^2

n	Xn	g(Xn)	f(Xn)
1	1,5	0,444444444	2,375
2	0,444444444	46,625	-9,122085048
3	46,625	-3,995399953	110043,2129
4	-3,995399953	-3,373560002	-9,926568427
5	-3,373560002	-3,121335415	-2,870544584
6	-3,121335415	-2,973594147	-1,439403994
7	-2,973594147	-2,869067685	-0,924250373
8	-2,869067685	-2,785161877	-0,690674803
9	-2,785161877	-2,710862873	-0,576346783
10	-2,710862873	-2,639229454	-0,526418066
11	-2,639229454	-2,5643595	-0,521509066
12	-2,5643595	-2,479304778	-0,55931472
13	-2,479304778	-2,373177518	-0,652359187
14	-2,373177518	-2,224422844	-0,837782093
15	-2,224422844	-1,979004683	-1,214343044
16	-1,979004683	-1,44667348	-2,084853618
17	-1,44667348	0,778140981	-4,656234443
18	0,778140981	12,51518426	-7,106819455
19	12,51518426	-3,936155204	2576,770621
20	-3,936155204	-3,354560454	-9,010832286
21	-3,354560454	-3,111354074	-2,736819839
22	-3,111354074	-2,966998086	-1,397441631
23	-2,966998086	-2,864033648	-0,906403946
24	-2,864033648	-2,780887545	-0,682021598
25	-2,780887545	-2,70689692	-0,572194327
26	-2,70689692	-2,635239124	-0,525057523
27	-2,635239124	-2,560008459	-0,52243824
28	-2,560008459	-2,474131178	-0,56280907
29	-2,474131178	-2,366366782	-0,659660902
30	-2,366366782	-2,214187413	-0,852157552
31	-2,214187413	-1,960276758	-1,244828957
32	-1,960276758	-1,397652921	-2,161986161
33	-1,397652921	1,119190925	-4,916487551
34	1,119190925	3,983468945	-3,58776121
35	3,983468945	-3,369801843	116,6818835

Dengan menggunakan metode titik tetap untuk mencari solusi dari fungsi f(Xn)=X^3+4X^2-10=0 dimana fungsi g(Xn) yang digunakan yaitu g(Xn) = (-4Xn^2+10)/Xn^2, tidak didapatkan solusi, hal ini dapat dilihat pada iterasi ke-35 nilai f(Xn)nya semakin menjauhi 0(nol). Hal ini juga dapat terbukti dengan melakukan uji kekonvergenan pada fungsi g(Xn) yaitu g'(Xn)=-5,925925296 atau g'(Xn)<-1 (Divergen Osilasi).

 

Untuk g(Xn) = ((-Xn^3+10)/4)^1/2

n	Xn	g(Xn)	f(Xn)
1	1,5	1,286953768	2,375
2	1,286953768	1,402540804	-1,243482822
3	1,402540804	1,345458374	0,627449877
4	1,345458374	1,375170253	-0,323339952
5	1,375170253	1,360094193	0,164948044
6	1,360094193	1,367846968	-0,084596454
7	1,367846968	1,363887004	0,04327027
8	1,363887004	1,365916733	-0,022163053
9	1,365916733	1,364878217	0,011343899
10	1,364878217	1,365410061	-0,005808349
11	1,365410061	1,365137821	0,002973463
12	1,365137821	1,365277209	-0,001522347
13	1,365277209	1,36520585	0,00077937
14	1,36520585	1,365242384	-0,00039901
15	1,365242384	1,36522368	0,000204277
16	1,36522368	1,365233256	-0,000104582
17	1,365233256	1,365228353	5,35419E-05
18	1,365228353	1,365230863	-2,74114E-05
19	1,365230863	1,365229578	1,40336E-05
20	1,365229578	1,365230236	-7,18465E-06
21	1,365230236	1,365229899	3,67826E-06
22	1,365229899	1,365230072	-1,88313E-06
23	1,365230072	1,365229984	9,64088E-07
24	1,365229984	1,365230029	-4,93576E-07
25	1,365230029	1,365230006	2,52692E-07
26	1,365230006	1,365230017	-1,29368E-07
27	1,365230017	1,365230011	6,62316E-08
28	1,365230011	1,365230014	-3,3908E-08
29	1,365230014	1,365230013	1,73596E-08
30	1,365230013	1,365230014	-8,88744E-09
31	1,365230014	1,365230013	4,55002E-09
32	1,365230013	1,365230013	-2,32944E-09
33	1,365230013	1,365230014	-6,83814E-09
34	1,365230014	1,365230013	9,67525E-09
35	1,365230013	1,365230014	-6,83814E-09
36	1,365230014	1,365230013	9,67525E-09

Dengan menggunakan metode titik tetap untuk mencari solusi dari fungsi f(Xn)=X^3+4X^2-10=0 dimana fungsi g(Xn) yang digunakan yaitu g(Xn)=((­Xn^3+10)/4)^1/2), dapat dikatakan solusi, hal ini dapat dilihat pada iterasi ke-36 nilai f(Xn)nya semakin semakin mendekati 0(nol).

 

Untuk g(Xn) = (-4Xn^2+10)^1/3

N	Xn	g(Xn)	f(Xn)
1	1,5	1	2,375
2	1	1,817120593	-5
3	1,817120593	-1,474794991	9,207708996
4	-1,474794991	1,091370196	-4,507627929
5	1,091370196	1,736427733	-3,935725444
6	1,736427733	-1,272545596	7,296369459
7	-1,272545596	1,521542585	-5,583235904
8	1,521542585	0,904354471	2,782878179
9	0,904354471	1,88787963	-5,988939317
10	1,88787963	-1,62061324	10,98492995
11	-1,62061324	-0,796625943	-3,750808895
12	-0,796625943	1,954082914	-7,967097523
13	1,954082914	-1,740631309	12,73530857
14	-1,740631309	-1,284467911	-3,154570717
15	-1,284467911	1,503778436	-5,519758162
16	1,503778436	0,984632264	2,445967077
17	0,984632264	1,829353811	-5,167395558
18	1,829353811	-1,501648773	9,50813868
19	-1,501648773	0,993357253	-4,366345303
20	0,993357253	1,822451861	-5,072761626
21	1,822451861	-1,486595102	9,338288612
22	-1,486595102	1,050759846	-4,44546315
23	1,050759846	1,774074369	-4,423474978
24	1,774074369	-1,373190473	8,172974452
25	-1,373190473	1,349454137	-5,046751164
26	1,349454137	1,395203677	-0,258502433
27	1,395203677	1,303271209	0,502267336
28	1,303271209	1,474523317	-0,992309831
29	1,474523317	1,092266405	1,902812671
30	1,092266405	1,735561905	-3,924692444
31	1,735561905	-1,270065614	7,276516905
32	-1,270065614	1,52516556	-5,596433845
33	1,52516556	0,885988792	2,852253279
34	0,885988792	1,900101144	-6,164615381
35	1,900101144	-1,643782838	11,30163287
36	-1,643782838	-0,931435742	-3,633449348
37	-0,931435742	1,869094649	-7,337797906
38	1,869094649	-1,583962073	10,50376906
39	-1,583962073	-0,32940632	-3,938315834
40	-0,32940632	2,122802594	-9,6017093
41	2,122802594	-2,002094756	17,59112931

Dengan menggunakan metode titik tetap untuk mencari solusi dari fungsi f(Xn)=X^3+4X^2-10=0 dimana fungsi g(Xn) yang digunakan yaitu g(Xn) = (-4Xn^2+10)^1/3, tidak didapatkan solusi, hal ini dapat dilihat pada iterasi ke-41 nilai f(Xn)nya semakin menjauhi 0(nol).

 

Untuk g(Xn) = 10/(Xn^2+4X)

n	Xn	g(Xn)	f(Xn)
1	1,5	1,212121212	2,375
2	1,212121212	1,582848837	-2,342154326
3	1,582848837	1,131630618	3,98732777
4	1,131630618	1,722026866	-3,428496148
5	1,722026866	1,014869462	6,967964153
6	1,014869462	1,964853535	-4,834884919
7	1,964853535	0,853237694	13,0282083
8	0,853237694	2,414895847	-6,466772283
9	2,414895847	0,645523394	27,40988894
10	0,645523394	3,334673842	-8,064208302
11	3,334673842	0,408851722	71,56193713
12	0,408851722	5,547645178	-9,263017535
13	5,547645178	0,188796984	283,8418322
14	0,188796984	12,64490686	-9,850693258
15	12,64490686	0,047511965	2651,415239

Dengan menggunakan metode titik tetap untuk mencari solusi dari fungsi f(Xn)=X^3+4X^2-10=0 dimana fungsi g(Xn) yang digunakan yaitu g(Xn) = 10/(Xn^2+4X), tidak didapatkan solusi, hal ini dapat dilihat pada iterasi ke-15 nilai f(Xn)nya semakin menjauhi 0(nol).

 

Untuk g(Xn) = ((-4Xn+10)/Xn)^1/2

n	Xn	g(Xn)	f(Xn)
1	1,5	0,816496581	2,375
2	0,816496581	2,996908806	-6,789002279
3	2,996908806	#NUM!	52,84247329

Dengan menggunakan metode titik tetap untuk mencari solusi dari fungsi f(Xn)=X^3+4X^2-10=0 dimana fungsi g(Xn) yang digunakan yaitu g(Xn)=((-4Xn+10)/Xn)^1/2, tidak didapatkan solusi, hal ini dapat dilihat pada iterasi ke-3 nilai g(Xn)nya menunjukkan #NUM! artinya nilainya ERROR.

 

 

KESIMPULAN

            Dengan menggunakan metode bagi dua, untuk mencari solusi dari fungsi f(x)=X^3+4X^2-10=0 terlebih dahulu menentukan dua titik awal [1 , 2] yang memenuhi syarat f(a)xf(b)<0. Setelah itu menghitung nilai hamparan c=(a+b)/2 yaitu c=1,5, dan memasukkan nilai titik awal dan nilai hamparan ke dalam masing-masing fungsi f(a), f(b), dan f(c), lalu kolom terakhir yaitu f(a)xf(c). Dimana nilai f(a)xf(c) ini sebagai syarat untuk menentukan nilai a dan b selanjutnya, syaratnya yaitu jika f(a)xf(c)<0 maka b=c, dan jika f(a)xf(c)>0 maka a=c, sehingga pada iterasi ke-35 nilai f(a)xf(c) sudah tidak berubah lagi sehingga meskipun dilanjutkan maka tidak akan mencapai solusi karena nilai a dan c nya terus berulang pada nilai f(a)xf(c)=0,02627945.

Dengan menggunakan metode titik tetap, untuk mencari solusi dari fungsi f(x)=X^3+4X^2-10=0 terlebih dahulu menentukan satu titik dengan ini yaitu 1,5 dan menganggapnya sebagai X1 lalu mencari satu per satu fungsi g(x) sebagai fungsi untuk menentukan nilai selanjutnya pada Xn. Setelah itu mencari nilai g(x) dengan memasukkan nilai X1 ke fungsi g(x), setelah itu memasukkan nilai X ke dalam fungsi f(x) untuk mendapatkan nilai dari f(x). Hal ini dilakukan dengan menggunakan aplikasi Microsoft Exel agar nilai yang didapatkan lebih akurat dan tidak akan menguras terlalu banyak tenaga untuk menghitung satu per satu nilai dari g(x) dan f(x) nya. Namun perhitungan manual juga digunakan saat menentukan sebuah fungsi serta untuk menguji apakah fungsi yang dimasukkan telah sesuai atau ada kekeliruan dalam memasukkan fungsi ke dalam kolom.